高一数学必修一函数图像知识点总结

导读：篇一：高一数学必修一函数图像知识点总结 知识点1 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性... 如果觉得还不错，就继续查看以下内容吧！

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　　篇一：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　知识点1

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　1、元素的确定性；

　　2、元素的互异性；

　　3、元素的无序性

　　说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　　（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　　3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　1、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　2、集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意啊：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　关于“属于”的概念

　　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a？A

　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

　　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②数学式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x？R|x—3>2}或{x|x—3>2}

　　4、集合的分类：

　　1、有限集含有有限个元素的集合

　　2、无限集含有无限个元素的集合

　　3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

　　知识点2

　　I、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II、二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

　　顶点式：y=a（x—h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：y=a（x—x？）（x—x？）[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B（x？，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax？，x？=（—b±√b^2—4ac）/2a

　　III、二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV、抛物线的性质

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=—b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　知识点3

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x=—b/2a。

　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P（—b/2a，（4ac—b’2）/4a）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b’2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

　　5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6、抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b’2—4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b’2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b’2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=—b±√b’2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　知识点4

　　对数函数

　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　　（2）对数函数的值域为全部实数集合。

　　（3）函数总是通过（1，0）这点。

　　（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

　　（5）显然对数函数。

　　知识点5

　　方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点。

　　3、函数零点的求法：

　　（1）（代数法）求方程的实数根；

　　（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

　　4、二次函数的零点：

　　（1）△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

　　（2）△=0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

　　（3）△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

　　篇二：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　奇函数和偶函数的定义：

　　奇函数：如果函数f（x）的定义域中任意x有f（—x）=—f（x），则函数f（x）称为奇函数。

　　偶数函数：如果函数f（x）的定义域中任意x有f（—x）=f（x），则函数f（x）称为偶数函数。

　　性质：

　　奇函数性质：

　　1、图象关于原点对称

　　2、满足f（—x）= — f（x）

　　3、关于原点对称的区间上单调性一致

　　4、如果奇函数在x=0上有定义，那么有f（0）=0

　　5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

　　偶函数性质：

　　1、图象关于y轴对称

　　2、满足f（—x）= f（x）

　　3、关于原点对称的区间上单调性相反

　　4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数，那么有f（x）=0

　　5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

　　常用运算方法：

　　奇函数±奇函数=奇函数；

　　偶函数±偶函数=偶函数；

　　奇函数×奇函数=偶函数；

　　偶函数×偶函数=偶函数；

　　奇函数×偶函数=奇函数。

　　证明方法：

　　设f（x），g（x）为奇函数，t（x）=f（x）+g（x），t（—x）=f（—x）+g（—x）=—f（x）+（—g（x））=—t（x），所以奇函数加奇函数还是奇函数；

　　若f（x），g（x）为偶函数，t（x）=f（x）+g（x），t（—x）=f（—x）+g（—x）=f（x）+g（x）=t（x），所以偶函数加偶函数还是偶函数。

　　篇三：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　1.学习的心态。

　　多数中等生的数学成绩是很有希望提升。一方面是目前具备了一定基础，加上努力认真，这种学生态度没有问题，只是缺少方向和适合的方法而已。另一方面，备考时间还算充足，还有时间进行调整和优化。所以平日里多给自己一些积极的心里暗示，坚持不断地实践合适自己的学习方法。

　　2.备考的方向。

　　什么是备考方向?所谓备考方向就是考试方向。在平时做题的时候，要弄明白，你面前的题是哪个知识框架下，那种类型的题型，做这样类型的题有什么样的方法，这一类的题型有哪些?等等。

　　题型和知识点都是有限的，只要我们根据常考的题型，寻找解题思路并合理的训练，那么很容易提升自己的数学成绩。

　　3.训练的方式。

　　每个人实际的情况不一样，训练的方式也不不同，考试中取得的好成绩都是考前合理训练的结果。很多学生抱怨时间不足，每天做完作业以后，身心疲惫。面对一堆题目，特别是数学题，可以注重以下几个角度：

　　(1)弄清楚自己的需要。例如拿到老师布置的作业，无论是试卷还是课本习题，如果带着情绪做，那么效果肯定不好。首先要弄清自己的需要，比如这些题目中哪些题目质量好?哪些是你还没有弄懂的?哪些是以前常出现的?哪些是你肯定会做的等等，你最想解决哪题?

　　(2)制定目标。如果应付老师来做题无疑导致做题质量不高，那么在做题之前应该制定一定目标，如上面说的那样，你通过哪些题目来训练正确率?通过哪些题目来练习速度?通过哪些题目来完善步骤等等。有了目标，更好的实现目标，在这个过程中，你肯定有很多收获。

　　篇四：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

　　二、复合函数定义域问题：

　　（一）例题剖析：

　　(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域

　　思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。

　　例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）例2.若函数f(x)1x1，则函数ff(x)的定义域为______________。

　　1x1解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1

　　即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1即1，解得x1且x2

　　1x1x1f(x)1

　　故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域

　　思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。

　　例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5

　　即函数f(x)的定义域为1，5

　　2例4.已知f(x4)lg2x2x8，则函数f(x)的定义域为______________。

　　解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2x22x8，知

　　x22x80

　　解得x244，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)

　　（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域

　　思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。

　　例5.若函数f(2x)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。

　　1解析：f(2)的定义域为1，1，即x1，1，由此得2，2

　　2f的作用范围为

　　1，22又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定义域为

　　12，4

　　2，4

　　评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

　　（二）同步练习：

　　21、已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。

　　答案：[1,1]

　　2、已知函数f(32x)的定义域为[3,3]，求f(x)的定义域。

　　答案：[3,9]

　　3、已知函数yf(x2)的定义域为(1,0)，求f(|2x1|)的定义域。

　　(12,0)(1,3)答案：

　　2

　　4、设fxlg2xx2，则ff的定义域为

　　2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4

　　x22,2x20得，f(x)的定义域为x|2x2。故解：选C.由，解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定义域为4,11,4

　　2x5、已知函数f(x)的定义域为x(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f(a0)的定义域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,

　　x（1）当a1时，定义域为{x|（2）当

　　32a32}；a2a，即0a1时，有a2x32a}；

　　12a2a，

　　定义域为{x|（3）当

　　32a32a，即a1时，有1x32a}.12aa2a2，

　　定义域为{x|2a故当a1时，定义域为{x|xx32a32}；

　　当0a1时，定义域为{x|a}.

　　［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

　　三、复合函数单调性问题

　　（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

　　证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b

　　因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),

　　u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

　　因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，

　　故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）.复合函数单调性的判断

　　复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

　　yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：确定函数的定义域；

　　将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性；

　　若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。

　　（4）例题演练例1、求函数ylog212(x2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x2x30x3或x1

　　单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则

　　y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

　　2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数22121

　　同理可证：y在(,1)上是增函数［例］2、讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.［解］由3x22x10得函数的定义域为

　　1{x|x1,或x}.

　　3则当a1时，若x1，∵u3x22x1为增函数，∴f(x)loga(3x22x1)为增函数.

　　若x13，∵u3x22x1为减函数.

　　∴f(x)loga(3x22x1)为减函数。

　　当0a1时，若x1，则f(x)loga(3x22x1)为减函数，若xf(x)loga(3x22x1)为增函数.

　　13，则

　　例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1

　　当a＞1时，函数t=2-a>0是减函数

　　由y=loga(2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是增函数，∴a＞1

　　由x［0，1］时，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2

　　当0例4、已知函数f(x2)ax2(a3)xa2（a为负整数）的图象经过点

　　(m2,0),mR，设g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得

　　F(x)在区间(,f(2)]上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。

　　［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得

　　1273a1273.

　　∵a为负整数，∴a1.

　　∴f(x2)x4x3(x2)21，

　　2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x，

　　∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.

　　假设存在实数p(p0)，使得F(x)满足条件，设x1x2，

　　22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，当x1,x2(,3)时，F(x)为减函数，

　　220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①

　　当x1,x2(3,0)时,F(x)增函数,∴F(x1)F(x2)0.

　　220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②

　　，故存在p116.

　　（5）同步练习：

　　1.函数y＝logA.（－∞，1）C.（－∞，

　　3212（x2－3x＋2）的单调递减区间是

　　B.（2，＋∞）D.（

　　32），＋∞）

　　解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）

　　在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减.

　　答案：B

　　2找出下列函数的单调区间.

　　（1）yax（2）y223x2(a1)；.

　　x22x3答案：(1)在(,]上是增函数，在[,)上是减函数。

　　2233（2）单调增区间是[1,1]，减区间是[1,3]。

　　3、讨论yloga(a1),(a0,且a0)的单调性。

　　答案：a1,时(0,)为增函数，1a0时，(,0)为增函数。4.求函数y＝log13x（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间.

　　解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R.因

　　＋＋

　　为函数y＝log13（x2－5x＋4）是由y＝log13（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函

　　52数y＝log13（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

　　）

　　上为减函数，在［

　　52，＋∞］上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log13（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log13（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也

　　为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log313（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）.

　　变式练习一、选择题

　　1.函数f（x）＝log

　　A.（1，＋∞）C.（－∞，2）

　　12(x－1)的定义域是

　　B.（2，＋∞）

　　2]D.(1，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

　　x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2.

　　答案：D2.函数y＝log

　　12（x2－3x＋2）的单调递减区间是

　　B.（2，＋∞）D.（

　　32A.（－∞，1）C.（－∞，

　　32），＋∞）

　　解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减.

　　答案：B

　　3.若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

　　A.4

　　yx的值为B.1或D.

　　1414

　　C.1或4

　　yx错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有

　　14＝或

　　xy＝1.

　　答案：选B

　　正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y.所以x＝y舍掉.只有x＝4y.答案：D

　　4.若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log的取值范围为

　　A.（0，C.（

　　12122a（x＋1）满足f（x）＞0，则a

　　）

　　B.（0，1）D.（0，＋∞）

　　，＋∞）

　　解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）.当f（x）＞0时，根据图象只有0＜

　　2a＜l，解得0＜a＜答案：A

　　12（根据本节思维过程中第四条提到的性质）.

　　5.函数y＝lg（

　　21－x－1）的图象关于

　　1＋x1－xA.y轴对称C.原点对称

　　21－x

　　B.x轴对称D.直线y＝x对称

　　1＋x1－x解析：y＝lg（

　　－1）＝lg，所以为奇函数.形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函数都为奇函数.答案：C二、填空题

　　已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________.解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝loga（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈（1，2）

　　7.函数f（x）的图象与g（x）＝（的单调递减区间为______.

　　解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝log则f（2x－x2）＝log132x（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）.

　　13）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）

　　13（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2.

　　（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增.所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）.答案：（0，1）

　　8.已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（则不等式f（log4x）＞0的解集是______.解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－

　　1212）＝0，

　　）＝f（

　　12）＝0.又f（x）在［0，＋∞］

　　12上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数.所以f（log4x）＞0log4x＞

　　9

　　或log4x＜－

　　12.

　　12解得x＞2或0＜x＜

　　.

　　12答案：x＞2或0＜x＜三、解答题9.求函数y＝log13

　　（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间.

　　解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R

　　＋＋

　　.因为函数y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log313（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，

　　52函数y＝log13（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

　　）

　　上为减函数，在［

　　52，＋∞］上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log13（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log13（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也

　　为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log313（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）.10.设函数f（x）＝

　　23x＋5＋lg3－2x3＋2x，

　　（1）求函数f（x）的定义域；

　　（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

　　（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?

　　－－

　　若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由.解：（1）由3x＋5≠0且＜

　　323－2x3＋2x＞0，解得x≠－

　　53且－

　　32＜x＜

　　32.取交集得－

　　32＜x

　　.

　　2（2）令（x）＝

　　3－2x3＋2x＝－1＋

　　3x＋56，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

　　3＋2x随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数.

　　又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝lg（x）＝

　　23x＋53－2x3＋2x是减函数，所以f

　　＋lg3－2x3＋2x是减函数.

　　（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.

　　设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0）.根据函数与反函数之间定义

　　－

　　域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝

　　一.指数函数与对数函数

　　.同底的指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数；

　　（二）主要方法：

　　1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

　　2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.（三）例题分析：

　　2例1.（1）若aba1，则logbxyz（2）若23525.所以函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点，交点为（

　　－

　　25，0）。

　　ba，logba，logab从小到大依次为；

　　z都是正数，，且x，则2x，y，3y，5z从小到大依次为；

　　（3）设x0，且ab1（a0，b0），则a与b的大小关系是

　　（A）ba1（B）ab1（C）1ba（D）1ab

　　2解：（1）由aba1得

　　baa，故logbbxyz（2）令235t，则t1，xalgtlogba1logab.

　　lg2，ylgtlg3，zlgtlg5，

　　∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30，∴2x3y；

　　同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z.（3）取x1，知选（B）.例2.已知函数f(x)ax(a1)，

　　x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）方程f(x)0没有负数根.

　　x2证明：（1）设1x1x2，则f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21

　　ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21)，

　　∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴

　　3(x1x2)(x11)(x21)0；

　　∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴aax1x20，

　　∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则a即ax0x0x02x010，

　　2x0x013(x01)x013x011，①3x013，∴

　　3x0112，而由a1知ax0当1x00时，0x011，∴∴①式不成立；

　　当x01时，x010，∴

　　3x011，

　　0，∴

　　3x0111，而ax00，

　　∴①式不成立.

　　综上所述，方程f(x)0没有负数根.

　　例3.已知函数f(x)loga(ax1)（a0且a1）.求证：（1）函数f(x)的图象在y轴的一侧；

　　（2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.

　　证明：（1）由a10得：a1，

　　∴当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0,)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；

　　当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(,0)，此时函数f(x)的图象在y轴的左侧.

　　∴函数f(x)的图象在y轴的一侧；

　　（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1x2，则直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x2，y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11，

　　当a1时，由（1）知0x1x2，∴1a∴0aax1x2ax2，∴0a1ax11，

　　111，∴y1y20，又x1x20，∴k0；

　　x1当0a1时，由（1）知x1x20，∴a∴

　　ax1x2ax21，∴ax11ax210，

　　1，∴y1y20，又x1x20，∴k0.1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.

　　a1

　　篇五：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　圆的方程定义：

　　圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的`定形条件。

　　直线和圆的位置关系：

　　1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

　　①Δ>0，直线和圆相交、②Δ=0，直线和圆相切、③Δ0，则a可以是任意实数;

　　排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数;

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　指数函数

　　(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　(3)函数图形都是下凹的。

　　(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

　　(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　(7)函数总是通过(0，1)这点。

　　(8)显然指数函数无界。

　　奇偶性

　　定义

　　一般地，对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　　篇六：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　圆锥曲线性质：

　　一、圆锥曲线的定义

　　1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.

　　2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.

　　3.圆锥曲线的.统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.

　　二、圆锥曲线的方程

　　1.椭圆：+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)(其中，a2=b2+c2)

　　2.双曲线：-=1(a>0，b>0)或-=1(a>0，b>0)(其中，c2=a2+b2)

　　3.抛物线：y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)

　　三、圆锥曲线的性质

　　1.椭圆：+=1(a>b>0)

　　(1)范围：|x|≤a，|y|≤b(2)顶点：(±a，0)，(0，±b)(3)焦点：(±c，0)(4)离心率：e=∈(0，1)(5)准线：x=±

　　2.双曲线：-=1(a>0，b>0)(1)范围：|x|≥a，y∈R(2)顶点：(±a，0)(3)焦点：(±c，0)(4)离心率：e=∈(1，+∞)(5)准线：x=±(6)渐近线：y=±x

　　3.抛物线：y2=2px(p>0)(1)范围：x≥0，y∈R(2)顶点：(0，0)(3)焦点：(，0)(4)离心率：e=1(5)准线：x=-

　　篇七：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性如：世界上的山

　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集：N_或N+

　　整数集：Z

　　有理数集：Q

　　实数集：R

　　1)列举法：{a,b,c……}

　　2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的集合

　　(2)无限集含有无限个元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1、“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

　　2、“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

　　即：

　　①任何一个集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

　　③如果AíB,BíC,那么AíC

　　④如果AíB同时BíA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4、子集个数：

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

　　篇八：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

　　在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的`0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

　　第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

　　对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

　　第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

　　在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

　　第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。

　　抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。

　　第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0。那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。这个c也可以是方程f(c)=0的根，称之为函数的零点定理，分为“变号零点”和“不变号零点”，而对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时，考生需格外注意这类问题。

　　第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。

　　因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

　　第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。

　　解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

　　第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件。

　　篇九：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c则称y为_的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点A(_?，0)和B(_?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在_轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与_轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与_轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。

　　_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，

　　当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，即a_^2+b_+c=0

　　此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

　　篇十：高一数学必修一函数图像知识点总结

　　一、函数的概念与表示

　　1、映射

　　(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

　　注意点：

　　(1)对映射定义的理解。

　　(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

　　2、函数

　　构成函数概念的三要素：

　　①定义域

　　②对应法则

　　③值域

　　两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

　　二、函数的解析式与定义域

　　1、求函数定义域的主要依据：

　　(1)分式的分母不为零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

　　(3)对数函数的真数必须大于零;

　　(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　三、函数的值域

　　1求函数值域的方法

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑦利用对号函数

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

　　四.函数的奇偶性

　　1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

　　如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

　　函数。

　　2.性质：

　　①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

　　②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

　　3.奇偶性的判断

　　①看定义域是否关于原点对称

　　②看f(x)与f(-x)的关系